Отчет по гранту РФФИ № 14-01-31358 мол_а

Грант РФФИ № 14-01-31358 мол_а   "Общая теория двойственности для групп, полугрупп и квантовых полугрупп методами операторных алгебр и абстрактного гармонического анализа"

Область исследований: Алгебра, Функциональный анализ

Руководитель проекта: кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры «Высшая математика» Аухадиев Марат Альфредович

Исполнители проекта: кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры «Высшая математика» Григорян Тамара Анатольевна, кандидат физ.-мат. наук Никоненкова Татьяна Владимировна, аспирант Новиков Андрей Андреевич

Аннотация: Двойственность Л.С. Понтрягина - это двойственность между локально компактной абелевой группой и ее группой характеров, для которой в свою очередь группа характеров изоморфна исходной группе. Но эта теория не имеет места для неабелевых групп.

Существует серия теорем двойственности для неабелевых групп: Т.Таннаки, М.Г. Крейна, и др. Г.И. Кац на основе теоремы двойственности Стайнспринга ввел понятие "кольцевых групп", и предложил подход к построению двойственности унимодулярных локально компактных групп, используя алгебру измеримых по инвариантной мере существенно ограниченных функций на этой группе. После открытия квантовых групп, понтрягинскую двойственность стали обобщать и на этот класс. С.Л. Воронович, Л.Л. Ваксман и Я.С. Сойбельман предложили С*-алгебраический подход к теории квантовых групп, введя таким образом компактные квантовые группы.

Для компактных квантовых групп была доказана теорема двойственности (С.Л. Воронович, С.Бааж, Дж.Скандалис, С.Ваас), которая в частности обобщает теорему Понтрягина и основывается на вышеуказанных теориях. Однако, несмотря на существенные усилия, построение похожей двойственности для полугрупп не увенчалось успехом.

Существует также понятие компактной квантовой полугруппы, обобщающее компактные квантовые группы. Для таких объектов исследования двойственности не проводились. Тем не менее, теория операторных алгебр предоставляет обширный спектр инструментов, необходимых для построения такой двойственности. В ходе данного проекта планируется построить двойственный объект для абстрактной полугруппы, и предложить подход к общей теории двойственности, связывающей абелевы и неабелевы группы, полугруппы, квантовые группы и квантовые полугруппы. Этот подход основывается на выше указанных теориях двойственности, но использует главным образом новый объект - компактную квантовую полугруппу (унитальную некоммутативную С*-алгебру с дополнительной структурой коумножения).

Полученные в 2014 году важнейшие результаты: Построена структура компактной квантовой полугруппы на приведенной полугрупповой С*-алгебре для абелевой дискретной полугруппы. Показано, что такая алгебра содержит плотную слабую алгебру Хопфа с той же квантовой структурой. Доказано существование функционала Хаара для построенной квантовой полугруппы. Показано существование компактной квантовой подгруппы в этой квантовой полугруппе. Изучена категория компактных квантовых полугрупп построенных по абелевым дискретным полугруппам. Доказано, что эта категория вкладывается в категорию абелевых дискретных полугрупп.

Самый важный результат данного проекта состоит в следующем. Совместно с зарубежным коллегой был построен более интересный с точки зрения функционального анализа класс С*-алгебр. А именно, определена С*-алгебра, порожденная локально компактной полугруппой S, реализованная изометриями на пространстве L2(S). При этом предполагается, что полугруппа S в общем случае неабелева. Впервые при определении полугрупповой С*-алгебры учитывается топология полугруппы. Таким образом заполнен один из пробелов в ряде известных С*-алгебр. Благодаря предложенному подходу к определению этой алгебры, руководителю данного проекта удалось доказать формулу для вычисления действия операторов на функциях. Эта формула связывает операторы алгебры с идеалами в полугруппе. Из нее легко следует, что алгебра изоморфна подалгебре в С*-скрещенном произведении алгебры проекторов (соответствующим идеалам в полугруппе) и группы (порожденной исходной полугруппой).

Использование скрещенных произведений позволило построить структуру компактной квантовой полугруппы на таких С*-алгебрах. Кроме того, построены две версии квантовой полугруппы — универсальная и приведенная, по аналогии с теорией компактных квантовых групп. Подготовка публикации по этим результатам будет завершена в 2015 году.

В качестве продолжения идеи полугрупповых алгебр, построена С*-алгебра, порожденная полугруппой отображений на счетном множестве.   Изучен случай, когда данная алгебра является прямой суммой алгебр Теплица. Задана градуировка на алгебре. Показано существование копроизведения на данном классе С*-алгебр. Изучение этих конструкций продолжается.

С целью расширения области исследований и соответствия актуальным тенденциям в теории квантовых групп, в проект исследований были включены некоторые свойства алгебры фон Неймана. А именно, изучаются центральные элементы операторных алгебр и двойственные пространства к операторным алгебрам. Были доказаны неравенства, выделяющие центральные положительные элементы в алгебрах фон Неймана, а также в С*-алгебрах. Были построены L1-пространства на множестве ультраслабо непрерывных функционалов на алгебре фон Неймана. Первые результаты по данному направлению вышли в виде тезисов и приняты в печать в виде статьи.

Степень новизны полученных результатов: Теория компактных квантовых полугрупп все еще остается малоизученной. Основные результаты по конструкции компактных квантовых полугрупп на операторных алгебрах являются новыми и актуальными, что подтверждается докладами на зарубежных конференциях, посвященных именно тематике проекта и вызванным к ним интересом.

Сопоставление полученных результатов с мировым уровнем: Значительные результаты по полугрупповым С*-алгебрам получены Кс.Ли в 2013 г. В его публикации определяется полная и приведенная полугрупповые С*-алгебры для дискретной неабелевой полугруппы, доказываются свойства этих алгебр и изучается связь с (односторонней) аменабельностью полугруппы. После этого последовала сильная публикация Й.Кунца, З. Ештергофа и Кс.Ли об исследовании К-теории этих С*-алгебр. Развивая эти идеи, в ходе данного проекта была определена С*-алгебра для локально-компактной полугруппы. Таким образом, впервые в этой теории введена в рассмотрение топология полугруппы. Этот подход позволил доказать более простые формулы для вычисления действия операторов алгебры, что показывает очевидное преимущество используемых методов. Конструируемые идеалы полугруппы, определенные в работе Кс.Ли, играют здесь также важную роль. На данный момент мы опередили конкурентов. Требуется дальнейшее изучение этих С*-алгебр, и задаваемой квантовой структуры на них. Интересы данного проекта в этих С*-алгебрах во многом пересекаются с целями указанных авторов, поэтому планируется тесное сотрудничество с ними (об этом уже имеется договоренность).

В теории квантовых полугрупп некоторый интерес вызвало следующее обобщение. В сентябре 2014г. М. Дос определил компактную квантовую полутопологическую полугруппу. Это понятие является аналогом полугруппы с частично непрерывным произведением. И в то же время обобщает компактную квантовую полугруппу. В ноябре 2014г. на конференции в г.Безансон К.Мрозински рассказал о критерии, когда квантовая полутопологическая полугруппа является компактной квантовой группой.

Методы и подходы, использованные в ходе выполнения Проекта: Для определения полугрупповой С*-алгебры абелевой дискретной полугруппы использовалось изометрическое регулярное представление этой полугруппы на гильбертовом пространстве l2(S) квадратично суммируемых комплекснозначных функций на полугруппе. Для неабелевой локально-компактной полугруппы мы использовали пространство квадратично интегрируемых функций по мере, предполагая вложимость полугруппы в группу с мерой. Сложность такого подхода заключается в отсутствии подходящего базиса, относительно которого порождающие операторы были бы операторами сдвига. Этот факт вызывал препятствия, так как ранее все конструкции были основаны на вычислениях на базисе. Однако нам удалось изобрести свой подход и показать формулу, упростившую вычисления. А также показать, что практически все известные конструкции для полугрупповых С*-алгебр дискретных полугрупп имеют место и здесь. Для работы с идеалами в полугруппе также был использован новый метод — метод конструкции свободных полугрупп, благодаря ему получены важные результаты для этих С*-алгебр.

Участие в 2014 году в научных мероприятиях по тематике Проекта:

1) Квантовые группы и операторные алгебры, Мюнстер (Германия), 7-9 мая 2014

2) Международная конференция по операторной теории и приложениям, Амстердам (Нидерланды), 14-18 июля 2014

3) Ежегодная встреча Французского научного сообщества в некоммутативной геометрии, Безансон (Франция), 27-29 ноября 2014

4) Зимняя школа по операторным пространствам, некоммутативной вероятности и квантовым группам, Метабье (Франция), 1-12 декабря 2014

5) Конференция «Операторные пространства, квантовая вероятность и приложения», Безансон (Франция), 15-19 декабря 2014

Библиографический список всех публикаций по Проекту, опубликованных в 2014 году, в порядке значимости:

1) М.А. Аухадиев, С.А. Григорян, Е.В. Липачева. Операторный подход к квантованию полугрупп. Математический сборник, 105:3 (2014), 15-40

2) M.Aukhadiev. Pentagon equation and compact quantum semigroups. The Varied Landscape of Operator Theory: Theta 2014, 47-55

3) А.А. Новиков, L_1-пространства, ассоциированные с положительными операторами, присоединенными к алгебре фон Неймана. Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского: материалы Тринадцатой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2014». - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. - Т. 50. - с. 133-135