Отчет по гранту РФФИ № 12-01-97016

Грант РФФИ №12-01-97016  

Название: Компактные квантовые полугруппы и их приложения к проблеме моноидальной категории в квантовой теории поля

Научный руководитель: Григорян Сурен Аршакович.

Исполнители гранта, работающие на кафедре «Высшая математика»: Липачева Екатерина Владимировна, Аухадиев Марат Альфредович.

Аннотация: В квантовой теории поля и математической статистике широко используются методы теории С*-алгебр, позволяющие дать ответ на ряд актуальных задач. Данный проект был направлен на построение теории квантования и интегрирования операторных алгебр и изучение двойственности полученных объектов. Квантование классических интегрируемых систем является одним из ключевых направлений современной математики. Наиболее успешным методом описания непрерывных квантовых объектов является подход теории операторных алгебр.

В рамках данного проекта исследуются приведенные полугрупповые С*-алгебры, и структура компактных квантовых полугрупп на них. Все такие алгебры порождаются регулярным представлением полугруппы. Результатом стало открытие, что полугрупповую С*-алгебру можно рассматривать как алгебру функций на некоторой компактной квантовой полугруппе. Этот факт был доказан построением структуры компактной квантовой полугруппы на упомянутой некоммутативной С*-алгебре. Был показан ряд свойств, характерных для теории, развитой С.Л. Вороновичем, но не встречавшихся ранее у квантовых полугрупп.

Исследование изометрических представлениий абелевых полугрупп и C*-алгебр, порожденных такими представлениями, является актуальной и важной тематикой, требующей новой методики и новых подходов к изучению. Так при исследовании C*-алгебр, порожденных изометрическими представлениями полугрупп, участниками проекта были применены методы теории инверсных полугрупп. Были построены и изучены С*-алгебры, порожденные представлениями элементарной инверсной полугруппы. Важным является построение новых С*-алгебр, возникающих при естественных расширениях представлений полугрупп.

По теореме Кобурна все бесконечномерные представления бициклической полугруппы порождают алгебру Теплица. Поэтому естественным является вопрос исследования С*-алгебр, порожденных инверсными подполугруппами бициклической полугруппы. Участниками проекта были полностью описаны такие алгебры, их неприводимые представления, инвариантные идеалы и автоморфизмы.

Теория описания операторных алгебр, порожденных измеримыми отображениями восходит к работам Дж. фон Неймана, который математически обосновал положения квантовой и статистической механики. Поэтому важным и актуальным является еще одно направление исследования по проекту - построение теории операторных алгебр, порожденных необратимыми и многозначными отображениями (в частности, полиморфизмами), возникающими в различных задачах квантовой механики и математической физики. Участниками проекта было начато исследование С*-алгебр, порожденных отображениями бесконечного множества в себя. Был получен критерий неприводимости естественного представления и одновременно начато исследование С*-алгебр, порожденных полугруппой многозначных отображений.