Отчет по гранту РФФИ № 13-02-97054 р_поволжье_а

Краткий научный отчет по проекту РФФИ № 13-02-97054 р_поволжье_а «Аксиоматическое построение теории нуклонных систем: исследование общих свойств с учетом правил суперотбора» (2013-2014 гг)

Руководитель проекта: Ситдиков Айрат Салимович, директор ИЭЭ, профессор кафедры «Высшая математика» ФГБОУ ВПО КГЭУ, доктор физ.-мат. наук.

Исполнители: Аухадиев Марат Альфредович, доцент кафедры «Высшая математика» ФГБОУ ВПО КГЭУ, канд. физ.-мат. наук; Никитин Александр Сергеевич, доцент кафедры «Высшая математика» ФГБОУ ВПО КГЭУ, канд. физ.-мат. наук; Хамзин Айрат Альбертович, «Высшая математика» ФГАОУ ВПО КФУ, канд. физ.-мат. наук;

Аннотация: Существенным успехом алгебраического подхода к квантовой физике явилось выявление связи между квантованными полями – фундаментальными объектами «классической квантовой теории поля» и наблюдаемыми на опыте величинами. Ясное и строгое математическое описание такой связи на языке теории С*-алгебр и С*-категорий для случая массивных частиц в пространстве-времени Минковского было дано в работах Допличера и Робертса: полевая алгебра возникает как скрещенное произведение алгебры наблюдаемых с ее полугруппой эндоморфизмов. Красота теории заключается в том, что группа внутренних симметрий (калибровочная группа), которая задает группу автоморфизмов полевой алгебры, имеет в качестве дуального объекта С*-категорию представлений этой группы в конечномерных гильбертовых пространствах. Эта категория в свою очередь, изоморфна категории представлений алгебры наблюдаемых, объекты которой нумеруются квантовыми числами, задающими суперотборную структуру теории. Такая структура позволяет исходя из наблюдаемых на опыте величин и суперотборной структуры физической системы восстановить группу внутренних симметрий и полевую алгебру системы. Все это составляет суть теоремы дуальности Допличера-Робертса, которая является развитием теории дуальности Танаки-Крейна.

Однако эти сложные математические построения еще не были реализованы на конкретных физических моделях. Поэтому данный научно-исследовательский проект был направлен на построение конкретной модели теории конечных ферми-систем  (в частности, протон-нейтронных систем) на основе дуальности Допличера и Робертса.  Исполнители и руководитель проекта построили модель на основе алгебры канонических антикоммутационных соотношений (КАС). Авторы проекта построили сеть алгебры КАС и ее суперотборную структуру с помощью абелевых квантовых чисел. Далее на основе скрещенного произведения этой алгебры, которая предварительно вложена в алгебру Кунца, с конкретным эндоморфизмом, получена алгебра нуклонных полей. Часть результатов представлена для опубликования в журнале «Математические заметки», а часть опубликована в журнале «Известия Вузов, Математика». Результаты также получены для неабелевых зарядов – изотопических квантовых чисел, но ввиду возникших технических сложностей скрещенное произведение для получения параполевой алгебры нуклонных полей (для протон-нейтронных дуплетов в изотопическом пространстве) еще не сформулировано в виде отдельной статьи.

Поставленная цель достигнута для случая абелевых зарядовых (суперотборных) секторов. В рамках проекта, используя вложение алгебры канонических антикоммутационных соотношений в подалгебру Кунца, построено скрещенное произведение данной подалгебры с группой целых чисел по некоторому эндоморфизму этой алгебры.  Показано, что полученная алгебра является С*-алгеброй Кунца. Другими словами, показано, что алгебра Кунца является С*-скрещенным произведением алгебры канонических антикоммутационных соотношений, порожденной стандартной рекурсивной фермионной системой по эндоморфизму. В ходе работы получены совершенно новые результаты при построении скрещенного произведения алгебры КАС с полугруппой ее эндоморфизмов путем вложения КАС в алгебру Кунца. При этом найдены нетривиальные эндоморфизмы КАС и построены соответствующие трансфер-операторы, необходимые для технического осуществления скрещенного произведения. Эти результаты оформлены в виде двух упомянутых статей. Для случая неабелевых зарядов построено скрещенное произведение с категорией эндоморфизмов алгебры Кунца, построенной тензорными степенями канонического эндоморфизма (которая изоморфна категории представлений Rep G, образованной тензорными степенями одного представления).

Кроме того, такая конструкция скрещенного произведения имеет особые преимущества при изучении свойств ферми систем, поскольку получается возможность изучения алгебры КАС для различных таких систем с помощью мощных методов изучения алгебры Кунца.

Полное название Организации, предоставляющей условия для выполнения работ по Проекту физическим лицам: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Казанский государственный энергетический университет"

Полученные в ходе выполнения Проекта важнейшие результаты: В рамках проекта, используя вложение алгебры канонических антикоммутационных соотношений в подалгебру Кунца, построено скрещенное произведение данной подалгебры с группой целых чисел по некоторому эндоморфизму этой алгебры. Показано, что полученная алгебра является С*-алгеброй Кунца. Другими словами, показано, что алгебра Кунца является С*-скрещенным произведением алгебры канонических антикоммутационных соотношений, порожденной стандартной рекурсивной фермионной системой по эндоморфизму. В соответсвии с теоремой дуальности Допличера-Робертса построены суперотборные сектора для абелевых зарядов. Поэтому такая структура позволяет исходя из наблюдаемых на опыте величин и суперотборной структуры физической системы восстановить группу внутренних симметрий и полевую алгебру системы.

Сопоставление полученных результатов с мировым уровнем: Несмотря на то, что мировым сообществом специалистов накоплен достаточно богатый опыт построения скрещенного произведения, в литературе нет единого мнения о возможности существования единой конструкции такого построения. Доказать, что все существующие до сих пор скрещенные произведения каким-то образом эквивалентны между собой, пока невозможно. С такой точки зрения, наше скрещенное произведение, построенное путем вложения алгебры канонических антикоммутационных соотношений в алгебру Кунца, является совершенно новым способом получения более расширенной алгебры Кунца.

Библиографический список всех публикаций  по проекту за весь период выполнения проекта:

1. Аухадиев М.А., Никитин А.С., Ситдиков А.С. «Скрещенное произведение алгебры канонических антикоммутационных соотношений в алгебре Кунца», Известия вузов. Математика http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/ 2014, №8, c. 1–4

2. Аухадиев М.А. «Категория компактных квантовых полугрупп, двойственная категории абелевых полугрупп»; Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского «Теория функций и смежные вопросы» Материалы 11-й научной международной летней школы-конференции, т.46, стр. 103-106

3. Aukhadiev M.A., Nikitin A.S., Sitdikov A.S. «A Crossed Product of the CAR Algebra in the Cuntz Algebra» сдана в печать (в журнал Математический Сборник)

4. Аухадиев М.А., Григорян С.А., Липачева Е.В. «О компактной квантовой полугруппе QSred» Известия вузов. Математика, т.10 (2013), стр. 1-6;

5. Аухадиев М.А., Григорян С.А., Липачева Е.В. «Структура некоторых компактных квантовых полугрупп» Владикавказский математический журнал

6. Хамзин А.А., Никитин А.С., Ситдиков А.С. «Сверхтекучесть нагретых ферми систем в приближении статических флуктуаций» Ядерная Физика

7. Aukhadiev M.A., Nikitin A.S., Sitdikov A.S. «The supeselction Model for the Algebra of Canonical Anticommuatation Relations in the Framework of C*-Crossed Product», LXIV International Conference «Nucleus 2014», July 1-4,2013, Minsk, Belarus, Book of Abstracts, p.159.